На практике обычно влияет, но не только количественный, а и качественный состав проживающих. Например: у Вас жила супружеская пара, потом у них родился ребенок или приехала мама пожить - это все по-человечески не повод повышать аренду. А вот если снимали двое, а потом к ним присоединился третий, чтобы меньше платить было вскладчину, то тогда можно и о некотором повышении подумать. Главное не додуматься до такого повышения, что арендаторы вообще съедут.
При этом кол-во и имена проживающих у Вас должны быть указаны в договоре, и Вы вправе применить указанные в договоре меры за нарушение нанимателями условий договора.

Сдаём квартиру одинокой девушке, в процессе она начинает жить с молодым человеком, в этом случае цена аренды жилья поднимается??

Конечно, стоимость ВСЕГДА зависит от количества жильцов - износ мебели и ремонта прямо зависит от этого. Представьте, что вы сдали однушку супругам, которые весь день на работе - они не будут днем пользоваться унитазом и смесителями. А если та же однушка сдана супругам с маленьким ребенком и бабушкой - то замена сантехники вас настигнет намного быстрее. Всех нужно указывать в договоре, это будет по-человечески по отношению к хозяину квартиры.

Уточните для начала арендную ставку, по которой сдавал наследодатель, и проконсультируйтесь по текущим. Возможно квартира сдается относительно дорого и менять ничего не нужно.

Переоформить договор необходимо после получения Вами документов на квартиру.

У вас есть договор Аренды\Найма если в квартире проживает больше людей чем указано в договоре на постоянной основе, то Вам решать оставить все как есть до окончания договора или перезаключить договор на новый срок с другим составом жильцов. Также у вас остается право при выявлении факта проживания большего количества людей чем указано в договоре - расторгнуть договор.

Статья 677. Наниматель и постоянно проживающие вместе с ним граждане

1. Нанимателем по договору найма жилого помещения может быть только гражданин.
2. В договоре должны быть указаны граждане, постоянно проживающие в жилом помещении вместе с нанимателем. При отсутствии в договоре таких указаний вселение этих граждан производится в соответствии с правилами статьи 679 настоящего Кодекса.
Граждане, постоянно проживающие совместно с нанимателем, имеют равные с ним права по пользованию жилым помещением. Отношения между нанимателем и такими гражданами определяются законом.
3. Наниматель несет ответственность перед наймодателем за действия граждан, постоянно проживающих совместно с ним, которые нарушают условия договора найма жилого помещения.
4. Граждане, постоянно проживающие вместе с нанимателем, могут, известив наймодателя, заключить с нанимателем договор о том, что все граждане, постоянно проживающие в жилом помещении, несут совместно с нанимателем солидарную ответственность перед наймодателем. В этом случае такие граждане являются сонанимателями.

С согласия наймодателя могут быть вселены другие наниматели, по норме общей площади на человека. Ст 679 ГК
Если договор найма долгосрочный, более 12 мес, то люди, приехавшие на срок до полугода, считаются временными жильцами. За них отвечает наймодатель, по истечение 6 мес они должны освободить жилое помещение, они не наниматели, а временные жильцы. Ст 680 ГК

В такой ситуации, по поводу подселения сына, решать уже Вам.
Договор можно один.

Сейчас ситуация такая.
Сейчас двое арендаторов арендуют вскладчину.
Один из них хочет подселить к себе на постоянное время сына.
Вроде бы и нет особого повода из-за этого повышать арендную плату?

По поводу нового договора как правильно поступить?
Если арендаторы арендуют вскладчину, то с каждым из них подписывать отдельный договор аренды или подписывать один договор, который подпишут оба арендатора?

Если параметр "количество проживающих" не временной, то конечно влияет. Если количество постоянно проживающих увеличивается по инициативе арендатора, то логичным будет увеличение размера арендной платы и наоборот. Отличный пример у Ирины Владимировны.
Что касается описанной ситуации, то правильнее всего будет заключить новый договор, где одной из сторон будете уже Вы.

Дело в том, что заселял арендаторов без договора мой отец, но он умер, и я не знаю точно о чём он с ними договаривался.
Благодарю Ирину Владимировну Кораблеву за ответ.