"этот договор регистрируется у нотариуса?" - если бабушка она собственник, то можно сделать договор в простой письменной форме

"Он подтверждает, что бабушка находится в своём уме и дарит квартиру по своей воле, при составлении договора или для этого нужно обязательно медицинское освидетельствование?" - нотариус ничего не подтверждает, он удостоверяет договор и должен проверить личность и дееспособность. Если сомневаетесь с дееспособности бабушка - сделайте мед освидетельствование в день сделки

"Бабушка сможет остаться прописанной в квартире, подарив мне ее? " - может

"Я не должна буду платить налог при получении квартиры по этому договору?"- нет

"Могут ли остальные родственники оспорить этот договор после смерти бабушки?"- могут, если будут основания

АЛЬТЕРНАТИВЕ. Налог так и так возникнет при последующей продаже, только если сейчас оформлять по ДКП - то 5 лет не продавать или платить налог, а если договор дарения - то 3 года.

Если вдруг так сложится что в ближайшее время возможно будете продавать квартиру (а Вы сами упоминаете о смерти бабушки) то переоформляйте по ДКП. И не обязательно нотариальному. Не вижу смысла платить лишние деньги не менее 25-30 тр. ради "истории квартиры", если у вас все благополучно, то ее и так купят. Гос. пошлина 2 тр и при дарении и при ДКП. Если смотреть вперед, то однозначно переоформлять по ДКП, избежите затем налогов гигантских в казну ни за что !!! Прописанной бабушка может остаться и можете наделить её пожизненным правом пользования. Если решите по дарению, то налогов сейчас не будет, а если через 2 года будете продавать, то заплатите 13 % минус вычет или 0,7 от кадастровой стоимости. Не менее полумиллиона точно (если Москва). Успехов !

Согласен с предыдущими комментариями с точки зрения будущей продажи, нотариат предпочтительней и отсутствием налогов (здесь правда, возможно придётся доказывать ИФНС, что вы прямые родственники)
Насчёт сможет быть прописанной. Де-факто, может, де-юре, указывать фразу "имеет право пользования и проживания и т. д.", нет, не может. Договор дарения, это безусловный документ и любое ответное действие со стороны одаряемого, несёт в себе элементы ренты. Подобной фразы в договоре дарения, стоять не должно. Но, это в законах, а в жизни сплошь и рядом, я даже не удивлюсь если нотариус прямо напечатает её в договоре.

1 - с точки зрения потенциальной продажи в будущем я бы советовал нотариальный договор. внутри семьи он бывает ни к чему, а вот потенциальные покупатели к нему отнесутся лучше, нежели к ппф; 2 - антонина права, нотар ничего не _подтверждает_, но на обывательском уровне многие относятся к нему именно как к "подтверждающему" элементу. собственно, поэтому нотариально заверенный договор будет лучше, чем ппф; 3 - разумеется; 4 - нет, т.к. вы близкие родственники, при дарении между которыми налог одаряемый не платит; 5 - вполне. поэтому лучше все спорные моменты внутри семьи утрясти заранее.

Если опасаетесь родственников, то страхуйтесь. Нотариус, освидетельствование и т. д. Можно сделать и куплю-продажу. Типа, деньги получены ПРИ подписании Договора (+ расписка).
Но, провести сделку можно и в ППФ. Налогов у Вас при дарении не будет. Бабушка может остаться зарегистрированной.
Посоветуйтесь с грамотным риелтером. Так, что бы он видел ВСЮ ситуацию.